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時間：2020年04月28日
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物理學(xué)：浮在水中的小球怎么稱重?
我的一位博客讀者向我提出這樣一個問題：
“一個奧林匹克場館大小的泳池里注滿了660000美制加侖的水。假設(shè)有一架秤位于整個泳池底部，稱得的數(shù)據(jù)顯示為5511556磅——水的重量。現(xiàn)用起重機一端吊住一顆質(zhì)量為12000磅、寬5英尺的圓形鋼球緩緩放入水中，球體的一半位于水面之上，一半浸沒在水中，問這時秤的讀數(shù)為多少?”
首先，讓我來告訴你一個錯誤的答案：5511556磅。得出這個答案的思維過程并不復(fù)雜：如果起重機仍然支撐著球體的重量，那么球就不會施加任何重量給稱。這是錯誤的。另一個錯誤的答案認(rèn)為是6000磅。畢竟鐵球一半露出水面，這一半并不是整體質(zhì)量中的一部分。對嗎?也不對。還有一個答案聽上去似乎高明些：5511556磅，得出這個答案的依據(jù)是牛頓定律：如果球?qū)λ邢蛳碌膲毫Γ敲催@個力會被水的浮力抵消掉，所以秤的讀數(shù)沒有發(fā)生變化，是這樣嗎?這個答案有點接近了，但還是不正確。
當(dāng)鋼球一半置入水中時，對鋼球做受力分析，以下為受力示意圖：
作用在球體上一共有3個力：
1.水的表面張力，它對球體作用力向上(一顆實心的鋼球不會浮起來);
2.重力G重(mg,g為重力場強度);
3.浮力F浮，本質(zhì)上，這是一個水對球向上的推力;浮力的值如何計算?假設(shè)球的部分像這樣由水替換掉：
這張圖顯示，如果不是球讓這部分水偏離原來的空間，水就會留在原處。對于這部分水而言，沒有繩索拉扯的它受到一個向下的地心引力和一個向上的浮力。假設(shè)這部分水是靜止的，那這兩個力在大小上是相同的。
那么浮力是如何產(chǎn)生的?要想通浮力存在的原因，可以想像物體排開的那部分水有回到原空間的趨勢因而對物體形成一個撞擊力。進(jìn)一步，這里有一個很酷的知識點：由于排開水而造成的撞擊力是不因物體材質(zhì)變化而變化的。只要物體體積相同，不論鋼球還是其他材質(zhì)，這種撞擊力不變。這個想法妙在我會很清楚這部分水提供的浮力是多少。結(jié)合上面的敘述，浮力的大小等于這塊被排開的水的重力。因為這一部分的水的體積和球體的體積完全一樣，兩者的浮力也是相同的。這樣一來，浮力的大小自然就是水的密度、物體的體積和重力常數(shù)g的乘積。
上述這些和泳池底部的秤能建立什么關(guān)系呢?首先讓我說明，我個人傾向于把牛頓第三定律稱為“對于力的定義”。基本上，它表達(dá)了力是物體間相互作用的這樣一種思考。如果說水以浮力F浮將球撐起，根據(jù)牛頓第三定律就可以反推，球?qū)λ泊嬖谝粋€大小一樣的向下壓力，即為重力。
前面我講的內(nèi)容聚焦于對球體上力的分析，現(xiàn)在轉(zhuǎn)向假設(shè)所有的水都放在一架秤上稱重，在鋼球放入水中之前，圖式如下：
此時沒有什么容器把水盛起來，水只是為了分析的簡便起見簡單“坐”在秤上。現(xiàn)把球放入水中，由于水以浮力向上推球，球就向下壓水，其力的大小等于浮力，圖式如下：
隨著這個作用在水上，大小等于浮力的力，情況又發(fā)生了什么變化?水還是保持靜止，這意味著合外力依舊是0(矢量為0)。既然增加了一個力，為什么合外力仍然為0?水的質(zhì)量也沒有變化，因為水并沒有減少或者增加。唯一發(fā)生變化的是秤對于水的支持力。秤的支持力的增加就使得秤的讀數(shù)必然也隨之上升。上升了多少?上升的量就等于物體排開的那部分水的重量。
這里有兩點是很耐人尋味的：首先，秤的讀數(shù)變化和放置于水中的物體的材質(zhì)無關(guān)，不管材料是鋼還是輕木。物體排開的相等體積的水的重量就是秤讀數(shù)的變化量。當(dāng)然要輕木球沉得像鋼球那樣，必須施力向下摁住它。
另外一點是，從秤的讀數(shù)角度而言，本質(zhì)上到底是什么使得看起來似乎秤上的水增加了?我們知道，用秤的時候我們是不需要關(guān)注這些問題的。在正常情況下，稱的使用是十分簡單的，用的時候只要注意事先讀數(shù)清零，要插上電，不用的時候鎖好即可。但有時候你也需要關(guān)注此類表象性的問題。如果我把一顆體積為1m3的球放入水中，排開的水會導(dǎo)致整個泳池的水位上升1cm，從池底開始算，似乎水增加了(水位變深了)，讀數(shù)也增加了，而事實上水的總量沒有變化。
很多人會覺得這樣一個答案難以置信，為了幫助他們理解，我做了一個小實驗。我把燒杯中注上適量的水后放在秤上，燒杯的重量加上水的重量一共是254g，我把一個球一半沒入水中，下一步為了測量到保持這個球的位置所需要的拉力，我改用彈簧秤來拉球。
實驗結(jié)果：隨著一半球放入水中，大秤的讀數(shù)從254g增加到了268g;在彈簧秤上球的質(zhì)量從沒入水之前的206g變化為192g。彈簧秤上讀數(shù)的減少正好是大秤讀數(shù)的增加。假如把這個球用同等體積的木球替換情況由會如何?依上述原理，秤的讀數(shù)變化還會是那么多。
二次試驗結(jié)果：大秤讀數(shù)果然上升了約14g(實際是13g)。現(xiàn)在你明白了其中的道理了嗎?當(dāng)然這個問題你也可以動手自行解答，找到一臺秤和一瓶水并不困難，只要把球放進(jìn)水中，記錄好稱的讀數(shù)就可以驗證了。
這個問題不失為一個好問題，而我們的回答則更為出彩。
來源：極客物理學(xué) : 地球上最有趣的問題和最出人意料的答案 作者：[美] 瑞特·阿萊恩
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