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時間：2020年04月28日
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物理學：π會出現在與圓無關的場合嗎?
我個人十分偏愛π這個數學符號，對于這點，我絲毫不隱瞞。連一個數學符號也喜歡?有什么特殊原因嗎?我們來做一件有趣的事情，請你拿出計算器，把π這個值做平方，可以用計算器本身自帶的π或者也可以取3.1415，或者任意一個計算器位數容得下的值。
計算完成了嗎?有沒有覺得這個值看起來很眼熟——π的平方是9.869，看起來正好和牛頓力學里講的地球表面重力場內每千克物體所受到的地心引力值g很接近，這下你發現什么了嗎?
且慢，到底你說的重力場是什么意思?由地心引力引起的9.8，難道單位不是m/s2嗎?說的沒錯。很多人是以這樣一種方式來認識它的，但它所謂的這個“名字”其實并不那么合適。我們來觀察一本簡簡單單放在圓桌面上的書，書放在桌面上是靜止的，對嗎?這說明它的動量改變為0，而動量定理認為物體所受的合外力等于動量的改變值與時間之比。所以書所受到的合外力為0，只有兩個大小相同、方向相反的力作用在這本書上：向下的地心引力與桌子向上的支持力。
因此，用這個單位m/s2地心引力的大小是多少?一般認為地心引力就等于書的質量與g的乘積。在地球表面，這樣計算是成立的。但何謂g?假如你的回答是：g是重力引起的加速度的值，就會產生一個問題，書在這個時候并沒有加速運動，對吧?
現在，如果你讓書自由落體，那么作用在書上唯一的力就是地心引力。在這種情況下，它以9.8m/s2的加速度向下加速。但做自由落體運動只是物體發生的一種非常特殊的狀態，這種情況并不能涵蓋物體的其他狀態，故不宜把g稱為是重力引起的加速度，而應該稱之為引力場的強度。
那么g的單位也應該隨之變化吧?如果g是引力場強度，那么它的單位應該是單位質量上所受到力的大小，可以把它類比為電場里單位庫倫所受的力的大小。把g稱為重力場并不只是物理叫法上的正本清源，它還能幫助初學物理的學生理解“場”的概念，當有這個重力場的概念作為鋪墊，以后學習到電場，理解起來就不會很費力。
言歸正傳，回到π的平方。也許你會認為π2的值和g相近只不過是世界上萬千巧合里的一樁而已。然而，兩者數值上的接近實際并非湊巧。但如果這件事不是巧合，那又為什么π的平方并不是完全和g相等?這是因為g本身也不是一個確值，它在地球表面的值是由很多因素決定的。首先，g是個近似值，是我們在地球表面測得的，由于受到地球自轉的影響，它把參考系的加速度也考慮在內了，離赤道越近，g的值就越小。
另外一個影響g的因素來源于地球表面并不統一的地理條件。在一個由密度較大的巖石構成的區域，g的值會增加，其值隨著地理區域的不同而發生變化，并沒有一個統一的定值。
關于g，比前面還要有趣的來了：為什么兩個看似毫不相關的π和g是有聯系的?這個和長度單位“米”也有關系。具體闡述這個問題前，我們先來認識一下秒擺。秒擺是一種鐘擺，重物從一頭運動到另外一頭耗時正好是1s(或周期為2s)。
你肯定見過秒擺，家里祖父的鐘擺就是一個秒擺(周期為2s)。但從技術上來講，祖父的鐘擺并不是嚴格意義上的一個秒擺。秒擺一端用一根質量極輕的細線拴上一個質點(線可以在你家附近的五金店購買到)。而祖父的秒擺則完全不同，它有一根硬棒作為來回擺動的工具，棒有質心，它和秒擺的質心不一樣。測量一下后者鐘擺的長度，你會發現它的長度大致為1m。而真正意義上的一個秒擺的長度實際就是1m。當然如果你和你的朋友在地球上不同的區域各自制作一個秒擺，用到線長度可能稍有不同。
去試一下，找來一顆質量較小的物體比如堅果，或者一顆金屬球。金屬球的效果會非常好，因為它的重力遠遠大于空氣的阻力以致于后者可以被忽略。現在，令金屬球質心與支點的一端之間的距離為一米，并讓它以小角度擺動(大約10°)。你可以用視頻記錄下來或者用秒表來測時間。不管怎么測，小球從一邊擺到另一邊，兩種方式測得的時間都應為1s。
在此，我不加以推導直接給出小角度擺動的秒擺周期公式，但要從實驗角度得出這個結果并不是特別困難：
如果你希望周期達到2s，你可以通過公式自己調整線的長度。此時線的長度L正好可以由g和π2來表示。更近一步，如果長度如秒擺一樣取1m，那么得出的結果g的值為π2，約等于9.8m/s2。等一下，剛才不是說g的單位N/kg嗎?好了，現在通過運算你該明白了為什么說這兩個單位是等價了吧?
但是為什么π會出現在單擺的周期公式里?這個問題問得好。這是因為單擺的路線和圓形一樣嗎?不對。在彈簧下端掛一重物，用手拉一下，重物就以原來靜止的位置為中心上下做往復運動，這同樣也是簡諧振動，它的周期公式和小角度的單擺周期公式在形式上一樣。那么到底為什么π在這個公式里?我認為最佳答案是描述簡諧運動需要用到正弦與余弦函數，因為這個緣故，周期公式里才有了π。
很多表面看起來毫不相關的事物原來有著我們意想不到的聯系。g和π就是這樣一種情況，當然，有時候在其他沒有圓的場合π依舊會出現。
來源：極客物理學 : 地球上最有趣的問題和最出人意料的答案 作者：[美] 瑞特·阿萊恩
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